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martes, 12 de febrero de 2013

 

 

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON 2 VARIABLES

 

Se llama sistemas de ecuaciones a todo conjunto de ecuaciones distintas que tiene  una o más soluciones comunes.

Aquí tenemos 3 métodos:

 

Método de reducción o eliminación

 

Este método es utilizado mayoritariamente, en las ecuaciones lineales con 2 variables.

Consiste en transformar una de las ecuaciones, mediante producto, para obtener una misma incógnita, pero con diferente signo, luego se procederá a sumar las 2 ecuaciones, para poder eliminar la incógnita.

Entonces nos quedaría una sola incógnita.

 

Ejemplo que ilustre este método:

 

método de reducción o eliminación

 

Ahora multiplicamos por (-3) a la primera incógnita “y”, para igualar con la otra ecuación y así poder eliminarlo.

 

método de reducción o eliminación2

Ahora procederemos a sumar, ambas ecuaciones lo cual se reducirá la incógnita “y”, sólo nos quedaría “x”.

método de reducción o eliminación3

 

Para saber el valor de “y”, sencillamente reemplazamos el valor de “x” en una de las ecuaciones.

 

método de reducción o eliminación4

 

Para verificar si es correcto debemos reemplazar los valores de x, y en una ecuación.

Aquí tomamos: 3x + 2y= 2      Donde:   “X = 2”  y “Y= - 2”

 

método de reducción o eliminación5

 

 

Método de sustitución

 

Este método consiste en despejar en una de las ecuaciones una incógnita, para luego sustituirla en la otra ecuación.

 

Ejemplo que ilustre este método:

 

metodo de sustitución

 

Despejamos la primera una incógnita de preferencia, puede ser cualquiera de las 2 ecuaciones.

 

metodo de sustitución2

 

Luego debemos sustituir el valor de “y” en la segunda ecuación.

 

clip_image001[6]4x – 3y = 8                                4x – 3(4 – 2x) = 8

 

Hallando tenemos:

 

clip_image002clip_image003clip_image0054x – 12 + 6x = 8                    10x – 12 = 8                          10x = 8 + 12

 

metodo de sustitución3

 

Sabemos el valor de x= 2, para obtener el valor de “y”, reemplazamos el valor en una de las ecuaciones.

 

metodo de sustitución4

 

Ahora para comprobar si todo es correcto reemplazamos en cualquiera de las ecuaciones lo valores obtenidos, x= 2,  y= 0

 

metodo de sustitución5

 

 

Método de Igualación

 

Este método consiste en aplicar el método anterior (de sustitución), a las 2 ecuaciones, para luego igualar ambas ecuaciones con una misma incógnita.

Ejemplo que ilustra este método.

 

metodo de igualación

 

Despejamos un valor, de preferencia el más sencillo de hallar.

 

De la primera ecuación despejamos “x”.

metodo de igualación2

 

De la segunda ecuación despejamos “x”.

metodo de igualación3

 

Ahora igualamos ambos valores de “X”

 

metodo de igualación4

 

 

 

Ahora que sabemos el valor de y = 6, hallamos “x”, subsistiendo en una de las ecuaciones principales.

 

metodo de igualación5

 

Ahora comprobamos si es correcto donde el valor de: x= -16, y= 6, utilizamos una de las ecuaciones principales.

 

metodo de igualación6

 

 

Ejercicios desarrollados

 

Resuelve esta ecuación por el método de:

1.    Reducción

2.    Sustitución

3.    Igualación

 

ejercicios de eliminación

 

DESARROLLO

 

1.    Por el método de Reducción.

 

ejercicios de eliminación2

 

Reemplazamos x= 10, en la primera ecuación para obtener el valor de “y”

ejercicios de eliminación3

 

Ahora comprobamos si todo es correcto. X= 10, y= -3,4, en una de las ecuaciones principales.

ejercicios de eliminación4

 

 

2.    Por el método de Sustitución.

 

ejercicio de sustitución

 

Después sustituimos “y”, en la otra ecuación.

 

ejercicio de sustitución2

 

Reemplazamos x= -12,4, en una de las ecuaciones principales para obtener el valor de “y”.

 

ejercicio de sustitución3

 

Ahora comprobamos para ver si esta correcto: x=  -12.4, y = 10.04, en una de las ecuaciones iniciales.

 

ejercicio de sustitución4

 

 

3.    Por el método de Igualación.        

 

ejercicios de igualación

 

Ahora igualamos ambos valores despejados de “x”.

 

ejercicios de igualación2

 

Para hallar “x”, reemplazamos el valor de y= -3.4 en la primera ecuación.

 

ejercicios de igualación3

 

 

Ahora comprobamos si todo es correcto: x= 10, y= -3.4, reemplazamos estos valores en la ecuación.

 

ejercicios de igualación4

 

RESUMEN

Como en los ejercicios desarrollados nos hemos dado cuenta que el método de eliminación o reducción es el más sencillo y rápido de utilizar, por lo que sería recomendable ese método en las ecuaciones lineales con 2 incógnitas.

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